平面向量是高中数学中一个重要的章节，它不仅在几何学中有广泛应用，在物理和其他学科中也占据重要地位。掌握好平面向量的相关知识，不仅能提升解题能力，还能为后续学习打下坚实基础。本文将对平面向量的知识点进行系统梳理，并提供一些经典训练题供读者巩固所学。
一、平面向量的基本概念
1. 向量的定义
向量是有大小和方向的量，通常用带箭头的线段表示。向量可以分为零向量（长度为0）和平行向量（方向相同或相反）。
2. 向量的表示方法
（1）几何表示：用有向线段表示；
（2）坐标表示：设点A(x₁, y₁)，点B(x₂, y₂)，则向量$\overrightarrow{AB} = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)$。
3. 向量的运算
（1）加法与减法：遵循平行四边形法则或三角形法则；
（2）数乘运算：向量与实数相乘时，改变其模长但不改变方向；
（3）数量积（内积）：两个向量的数量积为$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$，其中$\theta$为两向量夹角。
4. 单位向量
模长为1的向量称为单位向量，常用$\hat{u}$表示。
二、重要性质与公式
1. 共线条件
若$\vec{a} = k\vec{b}$（k为常数），则$\vec{a}$与$\vec{b}$共线。
2. 垂直条件
若$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，则$\vec{a} \perp \vec{b}$。
3. 模长计算公式
对于向量$\vec{a} = (x, y)$，其模长为$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$。
4. 夹角公式
设$\vec{a}, \vec{b}$为非零向量，则它们的夹角满足$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$。
三、典型例题解析
题目1：已知$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 4)$，求$\vec{a} + \vec{b}$和$\vec{a} - \vec{b}$。
解答：
$\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)$，
$\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-1), 3 - 4) = (3, -1)$。
题目2：若$\vec{a} \perp \vec{b}$，且$\vec{a} = (1, 2)$，求$\vec{b}$的一个可能值。
解答：
由$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，得$1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 = 0$，令$x_1 = 2$，则$x_2 = -1$。因此，$\vec{b} = (2, -1)$。
四、训练题精选
1. 已知$\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (5, 12)$，求$\vec{a} \cdot \vec{b}$以及它们的夹角。
2. 若$\vec{a} \parallel \vec{b}$，且$\vec{a} = (6, -8)$，$\vec{b} = (x, 4)$，求$x$的值。
3. 在平面直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(4, 6)，求向量$\overrightarrow{AB}$及其模长。
4. 给定$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (4, -5)$，判断$\vec{a} + \vec{b}$是否与$\vec{a}$垂直。
以上就是关于平面向量的知识点总结及训练题。希望这些内容能帮助大家更好地理解和应用这一知识点！如果还有疑问，欢迎进一步交流探讨。
