在数学中，平面向量的数量积是一个非常重要的概念，它不仅帮助我们理解向量之间的关系，还广泛应用于几何学、物理学以及工程学等领域。今天我们将探讨如何利用平面向量的数量积来解决夹角与垂直的问题。

首先，让我们回顾一下平面向量数量积的基本定义和性质：

对于两个二维向量 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) 和 \(\vec{b} = (x_2, y_2)\)，它们的数量积定义为：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2

\]

数量积具有以下重要性质：

1. 可交换性：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)

2. 线性性：\(c(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (c\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (c\vec{b})\) （其中 \(c\) 是标量）

3. 非负定性：若 \(\vec{a} \neq \vec{0}\)，则 \(\vec{a} \cdot \vec{a} > 0\)

接下来，我们来看如何使用数量积来确定两向量之间的夹角。设 \(\theta\) 为两非零向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的夹角，则有：

\[

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}

\]

其中 \(\|\vec{a}\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\) 和 \(\|\vec{b}\| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}\) 分别表示向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的模长。

特别地，当 \(\cos\theta = 0\) 时，即 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)，表明两向量互相垂直。

现在，我们通过一个具体例子来巩固这些理论知识。

例题：已知向量 \(\vec{a} = (3, 4)\) 和 \(\vec{b} = (-4, 3)\)，求它们之间的夹角，并判断是否垂直。

解：首先计算数量积 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(-4) + 4(3) = -12 + 12 = 0

\]

由于 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)，所以 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 垂直。

其次，我们可以验证这一点。因为 \(\|\vec{a}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)，\(\|\vec{b}\| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5\)，且 \(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} = \frac{0}{5 \times 5} = 0\)，因此 \(\theta = 90^\circ\)，即两向量确实垂直。

总结来说，通过平面向量的数量积，我们可以轻松地判断两向量是否垂直，并进一步求出它们之间的夹角。这种方法不仅简单直观，而且适用于各种实际问题场景。希望本文能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点！