在数学领域，泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，它在微积分、物理学和工程学中有着广泛的应用。通过泰勒展开，我们可以将复杂的函数转化为简单的多项式形式，从而简化计算和分析过程。以下是常用的十个泰勒展开公式：
1. 指数函数
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\]
这是泰勒展开的经典例子，适用于所有实数 \( x \)。
2. 正弦函数
\[
\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
\]
表示了正弦函数的周期性特性。
3. 余弦函数
\[
\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
\]
和正弦函数类似，但起始项不同。
4. 自然对数函数
\[
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad |x| < 1
\]
用于处理与对数相关的计算问题。
5. 平方根函数
\[
\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \cdots, \quad |x| < 1
\]
常用于近似计算平方根。
6. 反正切函数
\[
\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots, \quad |x| \leq 1
\]
在几何和物理中有重要应用。
7. 双曲正弦函数
\[
\sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots
\]
是指数函数的另一种变形。
8. 双曲余弦函数
\[
\cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
\]
与双曲正弦函数密切相关。
9. 反正弦函数
\[
\arcsin(x) = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots, \quad |x| \leq 1
\]
在三角函数中具有重要意义。
10. 反余弦函数
\[
\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \left( x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots \right), \quad |x| \leq 1
\]
是反正弦函数的补角关系。
这些公式在解决实际问题时非常实用，尤其是在需要快速估算或近似计算的情况下。掌握它们不仅能够提高解题效率，还能加深对数学本质的理解。
