高等数学是大学教育中一门重要的基础课程，它不仅为后续专业课程提供了必要的数学工具，还培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。为了帮助同学们更好地掌握高等数学的知识点，我们特别整理了一份高等数学考试题库，并附上了详细的答案解析。

一、选择题

1. 函数 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) 在区间 \([0, 4]\) 上的最大值为：

A. 1

B. 5

C. 10

D. 17

答案：D

2. 设函数 \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\)，则其导数 \(g'(x)\) 为：

A. \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)

B. \(\frac{x}{x^2 + 1}\)

C. \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\)

D. \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\)

答案：A

二、填空题

1. 若函数 \(h(x) = e^{2x} \cdot \sin(x)\)，则其在 \(x = 0\) 处的导数值为 _______。

答案：2

2. 定积分 \(\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx = _______ \)。

答案：1

三、解答题

1. 求函数 \(y = x^4 - 8x^2 + 16\) 的极值点及其对应的极值。

解答：

首先求导：\(y' = 4x^3 - 16x\)。

令 \(y' = 0\)，解得 \(x = 0\) 和 \(x = \pm 2\)。

再次求二阶导数：\(y'' = 12x^2 - 16\)。

当 \(x = 0\) 时，\(y'' = -16 < 0\)，故 \(x = 0\) 是极大值点，极大值为 \(y(0) = 16\)。

当 \(x = \pm 2\) 时，\(y'' = 32 > 0\)，故 \(x = \pm 2\) 是极小值点，极小值为 \(y(\pm 2) = 0\)。

2. 计算定积分 \(\int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x} dx\)。

解答：

设 \(u = \ln(x)\)，则 \(du = \frac{1}{x} dx\)。

当 \(x = 1\) 时，\(u = 0\)；当 \(x = e\) 时，\(u = 1\)。

原积分变为 \(\int_{0}^{1} u du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\)。

通过以上题目和解答，我们可以看到高等数学中的许多重要知识点，如导数的应用、极值的求解以及定积分的计算等。希望这份题库能够帮助大家巩固所学知识，提高解题能力。如果有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时联系老师或同学。