数学归纳法是一种重要的数学证明方法，广泛应用于数列、不等式等领域。它通过两个步骤来验证某一命题对所有自然数成立：第一步是验证基础情况（通常是n=1时），第二步是假设在n=k时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立。本文将通过几个经典例题展示数学归纳法的应用。
例题一：证明1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n²
证明：
1. 基础情况（n=1）：
当n=1时，左边为1，右边为1²=1，因此命题成立。
2. 归纳假设：
假设当n=k时，命题成立，即1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k²。
3. 归纳步骤：
要证明当n=k+1时命题成立，即1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)²。
根据归纳假设，1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k²。
所以，1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k² + (2k+1) = k² + 2k + 1 = (k+1)²。
因此，命题在n=k+1时也成立。
综上所述，命题对所有自然数n成立。
例题二：证明1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6
证明：
1. 基础情况（n=1）：
当n=1时，左边为1²=1，右边为1(1+1)(21+1)/6=1，因此命题成立。
2. 归纳假设：
假设当n=k时，命题成立，即1² + 2² + 3² + ... + k² = k(k+1)(2k+1)/6。
3. 归纳步骤：
要证明当n=k+1时命题成立，即1² + 2² + 3² + ... + k² + (k+1)² = (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6。
根据归纳假设，1² + 2² + 3² + ... + k² = k(k+1)(2k+1)/6。
所以，1² + 2² + 3² + ... + k² + (k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)² = (k+1)[k(2k+1)/6 + (k+1)] = (k+1)[(2k²+k)/6 + (6k+6)/6] = (k+1)(2k²+7k+6)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6。
因此，命题在n=k+1时也成立。
综上所述，命题对所有自然数n成立。
例题三：证明1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
证明：
1. 基础情况（n=1）：
当n=1时，左边为1·2=2，右边为1(1+1)(1+2)/3=2，因此命题成立。
2. 归纳假设：
假设当n=k时，命题成立，即1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + k(k+1) = k(k+1)(k+2)/3。
3. 归纳步骤：
要证明当n=k+1时命题成立，即1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + k(k+1) + (k+1)(k+2) = (k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)/3。
根据归纳假设，1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + k(k+1) = k(k+1)(k+2)/3。
所以，1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + k(k+1) + (k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2) = (k+1)[k(k+2)/3 + (k+2)] = (k+1)[(k²+2k)/3 + (3k+6)/3] = (k+1)(k²+5k+6)/3 = (k+1)(k+2)(k+3)/3。
因此，命题在n=k+1时也成立。
综上所述，命题对所有自然数n成立。
以上三个例题展示了数学归纳法在不同类型的数学问题中的应用。掌握数学归纳法的关键在于正确地进行基础情况的验证和归纳步骤的推导。希望这些例题能帮助你更好地理解和运用数学归纳法。
