在河北省高中数学竞赛中，参赛者们通过一系列精心设计的数学题目展示了他们的逻辑思维能力和解题技巧。为了帮助参赛者更好地理解题目解答过程以及评分标准，我们整理了以下参考答案和评分细则。

一、选择题部分

选择题通常考察的是基础知识和快速反应能力。每道选择题有四个选项，正确答案只有一个。以下是部分选择题的答案及解析：

1. 题目：若函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，则其导数为（ ）

A. $ 3x^2 - 3 $

B. $ 3x^2 - 1 $

C. $ 3x^2 + 3 $

D. $ 3x^2 + 1 $

答案：A

解析：根据导数公式，$ f'(x) = 3x^2 - 3 $。因此，正确答案为A。

2. 题目：已知集合 $ A = \{x | x^2 - 4x + 3 < 0\} $，则 $ A $ 的解集为（ ）

A. $ (1, 3) $

B. $ (-1, 3) $

C. $ (1, +\infty) $

D. $ (-\infty, 3) $

答案：A

解析：不等式 $ x^2 - 4x + 3 < 0 $ 可分解为 $ (x-1)(x-3) < 0 $，解得 $ x \in (1, 3) $。因此，正确答案为A。

二、填空题部分

填空题主要考查学生的计算能力和对概念的理解。以下是部分填空题的答案：

1. 题目：若 $ \log_2(x+1) + \log_2(x-1) = 3 $，则 $ x = $ ________。

答案：3

解析：利用对数性质 $ \log_a(m) + \log_a(n) = \log_a(mn) $，可得 $ \log_2((x+1)(x-1)) = 3 $，即 $ (x+1)(x-1) = 2^3 = 8 $。解方程 $ x^2 - 1 = 8 $，得 $ x = 3 $。

2. 题目：已知向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (3, k) $，且 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 7 $，则 $ k = $ ________。

答案：1

解析：向量点积公式为 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot k = 7 $。解方程 $ 3 + 2k = 7 $，得 $ k = 1 $。

三、解答题部分

解答题需要详细写出解题步骤，以展示完整的推理过程。

1. 题目：已知三角形 $ ABC $ 中，角 $ A = 60^\circ $，边 $ BC = 4 $，求三角形的面积。

答案：$ 4\sqrt{3} $

解析：由余弦定理 $ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos A $，代入已知条件 $ BC = 4 $，$ \cos A = \frac{1}{2} $，可设 $ AB = x $，$ AC = y $。进一步利用面积公式 $ S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A $，最终计算得面积为 $ 4\sqrt{3} $。

2. 题目：已知数列 $ a_n = n^2 - 5n + 6 $，求数列的前 $ n $ 项和 $ S_n $。

答案：$ S_n = \frac{n(n+1)(2n-9)}{6} $

解析：首先将数列通项公式展开为 $ a_n = n^2 - 5n + 6 $，然后利用求和公式分别对 $ n^2 $、$ n $ 和常数项求和，最终得到前 $ n $ 项和公式为 $ S_n = \frac{n(n+1)(2n-9)}{6} $。

四、评分标准

1. 选择题和填空题每题满分5分，按正确答案给分，错误答案不得分。

2. 解答题根据解题步骤的完整性、正确性和书写规范性评分，每题满分15分。

3. 若解题过程中出现关键步骤错误，则酌情扣分；若未写出完整解题过程，则酌情减分。

希望以上参考答案和评分标准能够帮助参赛者更好地准备下一次竞赛。祝各位同学取得优异成绩！