在高中阶段，数学作为一门基础学科，贯穿于各个学习领域，其核心内容包括代数、几何、三角函数、概率统计等多个方面。掌握一些常用的数学公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对数学概念的理解。以下是一些高中数学中较为常见且重要的公式整理。
一、代数部分
1. 平方差与完全平方公式
- $ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $
- $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
- $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
2. 立方和与立方差公式
- $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $
- $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $
3. 一元二次方程求根公式
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（其中 $ a \neq 0 $），其根为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
4. 韦达定理
若方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个根为 $ x_1, x_2 $，则有：
$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}
$$
二、三角函数部分
1. 基本三角恒等式
- $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta $
- $ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta $
2. 诱导公式
- $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $，$ \cos(-\theta) = \cos\theta $
- $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $，$ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $
3. 正弦与余弦的和角公式
- $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $
- $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $
4. 正切的和角公式
- $ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} $
三、几何部分
1. 勾股定理
在直角三角形中，设斜边为 $ c $，两直角边为 $ a $、$ b $，则：
$$
a^2 + b^2 = c^2
$$
2. 圆的周长与面积公式
- 周长：$ C = 2\pi r $
- 面积：$ A = \pi r^2 $
3. 扇形的弧长与面积
- 弧长：$ l = \theta r $（$ \theta $ 为圆心角的弧度数）
- 面积：$ A = \frac{1}{2} \theta r^2 $
4. 立体几何体积公式
- 正方体体积：$ V = a^3 $
- 圆柱体积：$ V = \pi r^2 h $
- 圆锥体积：$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $
四、数列与排列组合
1. 等差数列通项公式
设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
2. 等比数列通项公式
设首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
3. 排列数公式
从 $ n $ 个不同元素中取出 $ m $ 个进行排列的数目为：
$$
P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!}
$$
4. 组合数公式
从 $ n $ 个不同元素中取出 $ m $ 个不考虑顺序的组合数为：
$$
C(n, m) = \frac{n!}{m!(n - m)!}
$$
五、概率与统计初步
1. 概率基本公式
若事件 $ A $ 发生的概率为 $ P(A) $，则有：
$$
0 \leq P(A) \leq 1
$$
2. 加法公式
若事件 $ A $ 和 $ B $ 互斥，则：
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
$$
3. 期望值公式
若随机变量 $ X $ 取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则期望为：
$$
E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n
$$
以上就是高中数学中一些常见的公式总结。这些公式不仅是考试中的重点内容，也是后续学习更复杂数学知识的基础。建议同学们在理解的基础上加以记忆，并通过大量练习加以巩固。
