【平均数标准差计算例题[整理](4页)】在统计学中，平均数和标准差是两个非常重要的基本概念，它们分别用于描述数据的集中趋势和离散程度。掌握这两个指标的计算方法，有助于我们更好地分析和理解数据的特征。以下将通过具体的例题来展示如何计算平均数和标准差，并对整个过程进行详细说明。
一、什么是平均数？
平均数（也称为算术平均数）是一组数据中所有数值之和除以这组数据的个数。其公式为：
$$
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
$$
其中：
- $\bar{x}$ 表示平均数；
- $x_i$ 表示每个数据点；
- $n$ 表示数据的总个数。
二、什么是标准差？
标准差是衡量一组数据与其平均数之间偏离程度的指标。它反映了数据的波动性或分散程度。标准差越大，表示数据越分散；标准差越小，表示数据越集中。
标准差的计算公式如下：
$$
s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}
$$
其中：
- $s$ 表示样本标准差；
- $\bar{x}$ 是平均数；
- $n$ 是数据的个数；
- 如果是总体标准差，则分母为 $n$，而不是 $n - 1$。
三、例题讲解
例题1：计算以下数据的平均数与标准差
给定数据：5, 8, 10, 12, 15
步骤1：计算平均数
$$
\bar{x} = \frac{5 + 8 + 10 + 12 + 15}{5} = \frac{50}{5} = 10
$$
步骤2：计算每个数据与平均数的差值及其平方
| 数据 $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ |
|------------|------------------|----------------------|
| 5| -5 | 25 |
| 8| -2 | 4|
| 10 | 0| 0|
| 12 | 2| 4|
| 15 | 5| 25 |
步骤3：求和并计算标准差
$$
\sum (x_i - \bar{x})^2 = 25 + 4 + 0 + 4 + 25 = 58
$$
$$
s = \sqrt{\frac{58}{5 - 1}} = \sqrt{\frac{58}{4}} = \sqrt{14.5} \approx 3.81
$$
结论：该数据集的平均数为10，标准差约为3.81。
四、扩展练习
例题2：某班学生数学成绩如下（单位：分）
75, 80, 85, 90, 95
步骤1：计算平均数
$$
\bar{x} = \frac{75 + 80 + 85 + 90 + 95}{5} = \frac{425}{5} = 85
$$
步骤2：计算标准差
| 数据 $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ |
|------------|------------------|----------------------|
| 75 | -10| 100|
| 80 | -5 | 25 |
| 85 | 0| 0|
| 90 | 5| 25 |
| 95 | 10 | 100|
$$
\sum (x_i - \bar{x})^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
$$
$$
s = \sqrt{\frac{250}{5 - 1}} = \sqrt{\frac{250}{4}} = \sqrt{62.5} \approx 7.91
$$
结论：该班级学生的数学成绩平均分为85分，标准差约为7.91分。
五、总结
通过上述例题可以看出，计算平均数和标准差的过程并不复杂，但需要细心处理每一个步骤。特别是在计算标准差时，要特别注意是否使用样本标准差（分母为 $n - 1$）还是总体标准差（分母为 $n$）。此外，在实际应用中，这些指标可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，从而做出更合理的判断和决策。
如需进一步了解方差、中位数、众数等其他统计量，可继续查阅相关资料或参考更多例题进行练习。
