【03第三章时域分析1教学教案(55页)】一、教学目标
本章节旨在帮助学生理解控制系统在时域中的响应特性，掌握典型输入信号作用下系统的动态行为，并能够通过时域分析方法对系统性能进行评估与改进。通过本章学习，学生应能够：
- 理解时域分析的基本概念和意义；
- 掌握单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等典型输入信号的定义及其应用；
- 熟悉系统响应的组成：瞬态响应与稳态响应；
- 能够计算并绘制典型系统的时域响应曲线；
- 初步了解系统稳定性与时域性能指标的关系。
二、教学内容概要
1. 时域分析概述
时域分析是研究系统在时间域内输出随时间变化的规律，通常通过求解微分方程或利用拉普拉斯变换来实现。它是控制系统分析与设计的基础之一，能够直观反映系统的动态性能。
2. 典型输入信号
在控制系统中，常用以下几种典型输入信号作为测试信号，用于分析系统的响应特性：
- 单位阶跃信号：常用于分析系统的稳态误差和响应速度。
- 单位脉冲信号：用于研究系统的瞬态响应和系统辨识。
- 单位斜坡信号：用于评估系统对恒速输入的跟踪能力。
- 单位抛物线信号：用于评估系统对加速度输入的响应能力。
3. 系统响应的分类
系统响应可以分为两部分：
- 瞬态响应：系统在初始阶段的响应，随着系统趋于稳定而逐渐消失。
- 稳态响应：系统在长时间运行后的稳定输出状态。
4. 一阶系统的时域响应
一阶系统的数学模型为：
$$
T \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = u(t)
$$
其单位阶跃响应为：
$$
y(t) = 1 - e^{-t/T}, \quad t \geq 0
$$
通过该响应，可分析系统的上升时间、调节时间等性能指标。
5. 二阶系统的时域响应
二阶系统的标准形式为：
$$
\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 2\xi\omega_n \frac{dy(t)}{dt} + \omega_n^2 y(t) = \omega_n^2 u(t)
$$
根据阻尼比 $\xi$ 的不同，二阶系统的响应可分为：
- 欠阻尼（$\xi < 1$）：振荡响应；
- 临界阻尼（$\xi = 1$）：无超调的快速响应；
- 过阻尼（$\xi > 1$）：非振荡但响应较慢。
其单位阶跃响应公式为：
$$
y(t) = 1 - \frac{e^{-\xi\omega_n t}}{\sqrt{1 - \xi^2}} \sin\left( \omega_d t + \phi \right), \quad \text{其中 } \omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \xi^2}, \phi = \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{1 - \xi^2}}{\xi} \right)
$$
6. 时域性能指标
常见的时域性能指标包括：
- 上升时间 $t_r$：从0到稳态值的90%所需的时间；
- 峰值时间 $t_p$：达到最大超调量的时间；
- 超调量 $\sigma\%$：最大峰值与稳态值的百分比；
- 调节时间 $t_s$：系统输出进入稳态范围（如±2%或±5%）所需的时间；
- 稳态误差 $e_{ss}$：系统输出与期望值之间的偏差。
三、教学重点与难点
重点：
- 一阶和二阶系统的时域响应分析；
- 典型输入信号的应用；
- 时域性能指标的计算与分析。
难点：
- 二阶系统在欠阻尼情况下的振荡响应分析；
- 如何通过时域响应判断系统稳定性；
- 不同性能指标之间的相互影响。
四、教学方法与手段
1. 讲授法：结合理论讲解与例题分析，帮助学生理解基本概念和公式推导。
2. 多媒体辅助：利用PPT、动画演示等方式展示系统响应曲线，增强学生的直观理解。
3. 案例分析：选取实际工程系统作为例子，引导学生进行分析与讨论。
4. 课堂练习：布置相关习题，巩固所学知识。
5. 互动问答：鼓励学生提问，提高课堂参与度。
五、课后作业与思考题
1. 分析一个一阶系统的单位阶跃响应，写出其表达式并画出响应曲线。
2. 比较不同阻尼比下二阶系统的响应特性，说明其对系统性能的影响。
3. 计算一个二阶系统的超调量、峰值时间及调节时间。
4. 思考：为什么在控制系统设计中，常常希望系统具有一定的超调量？
六、教学反思与建议
在教学过程中，应注意引导学生从数学建模到物理意义的过渡，避免单纯依赖公式记忆。同时，应加强与实际工程应用的联系，使学生能够将理论知识应用于实际问题中。对于较为抽象的概念，如时域性能指标，可以通过图形化方式加以解释，提高学生的理解能力。
七、参考资料
1. 《自动控制原理》（胡寿松 编著）
2. 《现代控制工程》（Katsuhiko Ogata 著）
3. 《控制系统工程》（吴麒 主编）
备注：本教案共55页，涵盖第三章“时域分析1”的全部内容，适用于高校自动化、电气工程等相关专业的课程教学。
