【浙教版本2019七下数学期末考试压轴题L】在初中数学的学习过程中，期末考试是检验学生知识掌握情况的重要方式。尤其是压轴题，往往综合性强、难度高，对学生的逻辑思维能力和解题技巧提出了较高的要求。对于使用浙教版教材的七年级学生来说，2019年下学期的数学期末考试中，压轴题L无疑是一个值得深入研究和分析的典型题目。
题目内容如下（根据常见题型推测）：
> 已知点A(1, 2)，B(-3, 4)，C(5, -1)。
> （1）求线段AB的中点坐标；
> （2）若点D在x轴上，使得△ACD的面积为6，求点D的坐标；
> （3）是否存在点E在y轴上，使得∠AEB=90°？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
一、第一小问：求线段AB的中点坐标
这是一个基础题，考察的是中点公式的应用。中点公式为：
$$
\text{中点} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
$$
将A(1, 2)和B(-3, 4)代入得：
$$
\text{中点} = \left( \frac{1 + (-3)}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{6}{2} \right) = (-1, 3)
$$
此题较为简单，但作为压轴题的第一部分，起到了铺垫作用，帮助学生进入状态。
二、第二小问：点D在x轴上，使得△ACD的面积为6
这一小问需要结合坐标几何与三角形面积公式进行计算。已知点A(1, 2)，C(5, -1)，设D(x, 0)，因为D在x轴上。
三角形面积公式可使用行列式法或向量法，这里采用行列式法：
$$
S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|
$$
代入A(1, 2)、C(5, -1)、D(x, 0)：
$$
S = \frac{1}{2} |1(-1 - 0) + 5(0 - 2) + x(2 - (-1))| = \frac{1}{2} |-1 -10 + 3x| = \frac{1}{2} |3x - 11|
$$
令面积为6：
$$
\frac{1}{2} |3x - 11| = 6 \Rightarrow |3x - 11| = 12
$$
解得：
$$
3x - 11 = 12 \quad \text{或} \quad 3x - 11 = -12 \\
\Rightarrow 3x = 23 \quad \text{或} \quad 3x = -1 \\
\Rightarrow x = \frac{23}{3} \quad \text{或} \quad x = -\frac{1}{3}
$$
因此，点D的坐标为 $\left( \frac{23}{3}, 0 \right)$ 或 $\left( -\frac{1}{3}, 0 \right)$。
三、第三小问：是否存在点E在y轴上，使得∠AEB=90°？
这个问题涉及到向量垂直的条件，即两个向量的点积为0。
设E(0, y)，则向量$\vec{EA} = (1 - 0, 2 - y) = (1, 2 - y)$，向量$\vec{EB} = (-3 - 0, 4 - y) = (-3, 4 - y)$。
若$\angle AEB = 90^\circ$，则$\vec{EA} \cdot \vec{EB} = 0$：
$$
(1)(-3) + (2 - y)(4 - y) = 0 \\
-3 + (2 - y)(4 - y) = 0 \\
(2 - y)(4 - y) = 3
$$
展开左边：
$$
(2 - y)(4 - y) = 8 - 2y - 4y + y^2 = y^2 - 6y + 8
$$
所以：
$$
y^2 - 6y + 8 = 3 \Rightarrow y^2 - 6y + 5 = 0
$$
解这个方程：
$$
y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}
$$
得到：
$$
y = 5 \quad \text{或} \quad y = 1
$$
因此，存在这样的点E，其坐标分别为(0, 5)和(0, 1)。
总结
这道压轴题从基础的中点公式入手，逐步提升难度，融合了坐标几何、面积计算和向量垂直判断等知识点，考查了学生的综合运用能力。通过分步解析，不仅有助于理解题目的思路，也能帮助学生在面对类似问题时建立清晰的解题框架。
对于备考的学生而言，掌握这类题型的关键在于熟练运用公式、灵活转换思路，并注重逻辑推理的严谨性。希望本题解析能为大家提供参考，助力数学学习更上一层楼。
