【高数一试题与答案解析.】在大学阶段，高等数学（简称“高数一”）是许多理工科专业学生必修的一门基础课程。它不仅为后续的专业课程打下坚实的数学基础，同时也是考研、竞赛以及各类考试中的重要考察内容。为了帮助同学们更好地掌握高数一的知识点和解题技巧，本文将提供一套典型的高数一试题，并附上详细的解答过程与思路分析。
一、试题部分
题目1：求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}
$$
题目2：求导数
设函数 $ f(x) = x^2 \cdot e^{x} $，求 $ f'(x) $。
题目3：求定积分
$$
\int_0^1 (2x + 3) \, dx
$$
题目4：求不定积分
$$
\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx
$$
题目5：判断函数的单调性
设函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，试判断其在区间 $ (-\infty, +\infty) $ 上的单调性。
二、答案与解析
题目1解析：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}
$$
这是一个常见的极限问题，可利用等价无穷小替换或洛必达法则来解决。
我们使用等价无穷小的方法：
当 $ x \to 0 $ 时，$ \sin(3x) \sim 3x $，因此：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = 3
$$
答案： $ 3 $
题目2解析：
函数 $ f(x) = x^2 \cdot e^{x} $，要求导数。
使用乘积法则：
$$
f'(x) = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)'
= 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x
= e^x (2x + x^2)
$$
答案： $ f'(x) = e^x (x^2 + 2x) $
题目3解析：
$$
\int_0^1 (2x + 3) \, dx
$$
逐项积分：
$$
\int_0^1 2x \, dx + \int_0^1 3 \, dx = \left[ x^2 \right]_0^1 + \left[ 3x \right]_0^1 = (1^2 - 0^2) + (3 \cdot 1 - 3 \cdot 0) = 1 + 3 = 4
$$
答案： $ 4 $
题目4解析：
$$
\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx
$$
这是标准的积分公式：
$$
\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x) + C
$$
答案： $ \arctan(x) + C $
题目5解析：
函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，求其单调性。
首先求导：
$$
f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
$$
令导数为零，得临界点：$ x = -1 $ 和 $ x = 1 $
分析导数符号：
- 当 $ x < -1 $ 时，$ f'(x) > 0 $，函数递增；
- 当 $ -1 < x < 1 $ 时，$ f'(x) < 0 $，函数递减；
- 当 $ x > 1 $ 时，$ f'(x) > 0 $，函数递增。
结论： 函数在区间 $ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $ 上递增，在 $ (-1, 1) $ 上递减。
三、总结
通过以上试题与解析，可以看出高数一主要考查的内容包括极限、导数、积分以及函数的性质分析。掌握基本的运算方法和理解函数的变化趋势是学好高数的关键。
建议同学们在学习过程中注重基础知识的巩固，多做练习题，逐步提高解题能力与逻辑思维水平。希望本套试题与解析能对大家的学习有所帮助。
