【十字相乘法习题及答案】在初中数学中，因式分解是常见的知识点之一，而“十字相乘法”则是解决二次三项式因式分解的重要方法。掌握这一技巧，不仅能提高解题效率，还能增强对代数式的理解能力。本文将通过一系列练习题和详细解答，帮助大家更好地理解和应用十字相乘法。
一、什么是十字相乘法？
十字相乘法是一种用于分解形如 $ ax^2 + bx + c $ 的二次多项式的因式分解方法。其基本思路是将中间项 $ b $ 分解为两个数的和，使得这两个数的乘积等于首项系数 $ a $ 与常数项 $ c $ 的乘积（即 $ a \times c $），然后通过交叉相乘的方式进行分组，最终实现因式分解。
二、十字相乘法的基本步骤
1. 确定首项和常数项的乘积：即 $ a \times c $。
2. 找出两个数，使其乘积为 $ a \times c $，和为 $ b $。
3. 将原式拆分成两个部分，并进行分组。
4. 提取公因式，完成因式分解。
三、典型例题与解析
例题1：
分解因式： $ x^2 + 5x + 6 $
解题过程：
- 首项系数 $ a = 1 $，常数项 $ c = 6 $，乘积为 $ 1 \times 6 = 6 $。
- 寻找两个数，它们的乘积为 6，和为 5。
- 符合条件的数为 2 和 3。
- 将中间项拆成 $ 2x + 3x $，原式变为：
$$
x^2 + 2x + 3x + 6
$$
- 分组后：
$$
(x^2 + 2x) + (3x + 6)
$$
- 提取公因式：
$$
x(x + 2) + 3(x + 2)
$$
- 最终结果：
$$
(x + 2)(x + 3)
$$
答案： $ (x + 2)(x + 3) $
例题2：
分解因式： $ x^2 - 7x + 12 $
解题过程：
- $ a = 1 $, $ c = 12 $, 乘积为 12
- 寻找两数乘积为 12，和为 -7
- 符合条件的是 -3 和 -4
- 拆项得：
$$
x^2 - 3x - 4x + 12
$$
- 分组：
$$
(x^2 - 3x) - (4x - 12)
$$
- 提取公因式：
$$
x(x - 3) - 4(x - 3)
$$
- 结果：
$$
(x - 3)(x - 4)
$$
答案： $ (x - 3)(x - 4) $
例题3：
分解因式： $ 2x^2 + 7x + 3 $
解题过程：
- $ a = 2 $, $ c = 3 $, 乘积为 6
- 寻找两数乘积为 6，和为 7
- 符合条件的是 1 和 6
- 拆项得：
$$
2x^2 + x + 6x + 3
$$
- 分组：
$$
(2x^2 + x) + (6x + 3)
$$
- 提取公因式：
$$
x(2x + 1) + 3(2x + 1)
$$
- 结果：
$$
(2x + 1)(x + 3)
$$
答案： $ (2x + 1)(x + 3) $
四、练习题（附答案）
1. 分解因式： $ x^2 + 6x + 8 $
答案： $ (x + 2)(x + 4) $
2. 分解因式： $ x^2 - 4x - 21 $
答案： $ (x - 7)(x + 3) $
3. 分解因式： $ 3x^2 + 10x + 8 $
答案： $ (3x + 4)(x + 2) $
4. 分解因式： $ 4x^2 - 12x + 9 $
答案： $ (2x - 3)^2 $
5. 分解因式： $ 6x^2 + 11x + 3 $
答案： $ (3x + 1)(2x + 3) $
五、总结
十字相乘法虽然看似简单，但需要一定的观察力和计算能力。通过多做练习题，逐步熟悉不同类型的题目，能够有效提升解题速度和准确性。希望同学们在学习过程中不断积累经验，灵活运用这一重要的因式分解技巧。
