【复合函数求导公式什么】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其求导需要用到“链式法则”（Chain Rule）。本文将对复合函数的求导公式进行总结，并通过表格形式清晰展示不同情况下的应用方式。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入，例如：
设 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，那么 $ y $ 就是关于 $ x $ 的复合函数，记作 $ y = f(g(x)) $。
对于这样的函数，直接求导时不能简单地对 $ f(u) $ 求导后代入 $ g(x) $，而是需要使用链式法则。
二、复合函数的求导公式
链式法则（Chain Rule） 是复合函数求导的核心公式：
> 若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
> $$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
三、常见复合函数的求导示例
| 函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = \sin(u) $ | $ \frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot u' $ | 其中 $ u = g(x) $ |
| $ y = e^{u} $ | $ \frac{dy}{dx} = e^{u} \cdot u' $ | 指数函数的导数仍为自身乘以内层导数 |
| $ y = \ln(u) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot u' $ | 对数函数的导数为倒数乘以内层导数 |
| $ y = u^n $ | $ \frac{dy}{dx} = n \cdot u^{n-1} \cdot u' $ | 幂函数的导数需用链式法则处理 |
| $ y = \sqrt{u} $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' $ | 根号函数可视为幂函数的特例 |
四、总结
复合函数的求导主要依赖于链式法则，即对外层函数求导后乘以内层函数的导数。掌握这一规则是解决复杂函数求导问题的关键。
在实际应用中，应先识别出外层函数和内层函数，再分别求导并相乘。通过练习不同类型的复合函数，可以更熟练地运用这一方法。
如需进一步学习多层复合函数（如 $ y = f(g(h(x))) $）的求导方法，也可以继续深入研究链式法则的扩展形式。
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