【三角形角平分线性质】在几何学习中，三角形的角平分线是一个重要的概念，它不仅与角的大小有关，还与边长、面积等几何量密切相关。掌握角平分线的性质有助于我们更深入地理解三角形的结构和相关定理。
以下是关于三角形角平分线性质的总结
一、基本定义
- 角平分线：从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的射线。
- 三角形的角平分线：在三角形中，从一个顶点出发，将该角平分的线段，称为该角的角平分线。
二、主要性质总结
| 序号 | 性质名称 | 内容描述 |
| 1 | 角平分线上的点到两边距离相等 | 在角平分线上任意一点，到角的两边的距离相等。 |
| 2 | 角平分线定理 | 在三角形中，角平分线将对边分成与邻边成比例的两段。即：若AD是∠A的角平分线，则BD/DC = AB/AC。 |
| 3 | 三角形内角平分线交于一点 | 三角形的三条角平分线交于一点，称为内心，它是三角形内切圆的圆心。 |
| 4 | 内心到三边距离相等 | 内心到三角形三边的距离相等，且等于内切圆的半径。 |
$ d = \frac{2bc}{b + c} \cos \left( \frac{A}{2} \right) $ 或
$ d^2 = bc \left[ 1 - \left( \frac{a}{b + c} \right)^2 \right] $
三、应用举例
- 例1：在△ABC中，AD为∠A的角平分线，AB=6，AC=9，BC=15，求BD和DC的长度。
根据角平分线定理：
$$
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
$$
设BD = 2x，DC = 3x，则有：
$$
BD + DC = BC = 15 \Rightarrow 2x + 3x = 15 \Rightarrow x = 3
$$
所以，BD = 6，DC = 9。
四、小结
三角形的角平分线不仅是几何图形中的重要元素，也具有丰富的数学性质。通过理解这些性质，可以帮助我们在解题过程中更快地找到思路，提高解题效率。
掌握角平分线的性质，不仅有助于几何问题的解决，也为后续学习相似三角形、三角函数等内容打下坚实基础。
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