【平面向量的所有公式归纳总结】在高中数学中，平面向量是一个重要的知识点，涉及向量的表示、运算、性质及其应用。为了帮助学习者更好地掌握这一部分内容，本文对平面向量的主要公式进行系统归纳和总结，便于复习与查阅。
一、基本概念
| 概念 | 含义 |
| 向量 | 既有大小又有方向的量，常用有向线段表示 |
| 零向量 | 长度为0的向量，方向任意 |
| 单位向量 | 长度为1的向量 |
| 相等向量 | 方向相同且长度相等的向量 |
| 相反向量 | 方向相反但长度相等的向量 |
二、向量的表示方法
| 表示方式 | 说明 |
| 几何表示 | 用有向线段表示，如 $\vec{AB}$ |
| 坐标表示 | 若点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则 $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ |
| 符号表示 | 用小写字母表示，如 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 等 |
三、向量的运算
1. 向量加法
- 定义：若 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则
$$
\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
$$
- 几何意义：首尾相连，从第一个向量的起点到第二个向量的终点。
2. 向量减法
- 定义：
$$
\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})
$$
其中 $-\vec{b}$ 是 $\vec{b}$ 的相反向量。
- 坐标表示：
$$
\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)
$$
3. 向量数乘
- 定义：设 $\lambda$ 为实数，$\vec{a} = (x, y)$，则
$$
\lambda \vec{a} = (\lambda x, \lambda y)
$$
- 性质：
- 当 $\lambda > 0$ 时，方向不变；
- 当 $\lambda < 0$ 时，方向相反；
- 当 $\lambda = 0$ 时，结果为零向量。
四、向量的模（长度）
| 公式 | 说明 | ||
| $\ | \vec{a}\ | $ | 向量 $\vec{a} = (x, y)$ 的长度为：$\sqrt{x^2 + y^2}$ |
| $\ | \vec{a} - \vec{b}\ | $ | 向量差的长度：$\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$ |
五、向量的数量积（点积）
| 公式 | 说明 | ||||
| 定义 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$，其中 $\theta$ 为两向量夹角 |
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
$$
- $\vec{a} \cdot \vec{a} =
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
- $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
六、向量的向量积（叉积）
> 注：向量积仅适用于三维空间，但在平面向量中可视为垂直于平面的“伪向量”。
| 公式 | 说明 | ||||
| 定义 | $\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta \cdot \hat{n}$，其中 $\hat{n}$ 为垂直于两向量所在平面的单位向量 |
$$
\vec{a} \times \vec{b} = x_1 y_2 - x_2 y_1
$$
七、向量的夹角公式
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{
$$
八、向量的共线与垂直条件
| 条件 | 说明 |
| 共线 | $\vec{a} = \lambda \vec{b}$（$\lambda$ 为实数） |
| 垂直 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ |
九、向量的投影
| 公式 | 说明 | ||
| 数量投影 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | }$ |
| 向量投影 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \right) \vec{b}$ |
十、向量的应用
| 应用场景 | 说明 |
| 几何问题 | 如三角形、平行四边形、中点、重心等 |
| 物理问题 | 力、速度、加速度等矢量的合成与分解 |
| 解析几何 | 用于求直线方程、距离、面积等 |
通过以上内容的整理，可以清晰地看到平面向量的各类公式及其应用。建议在实际解题过程中灵活运用这些公式，并结合图形理解其几何意义，以提高解题效率与准确性。
以上就是【平面向量的所有公式归纳总结】相关内容，希望对您有所帮助。
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