高一数学压轴题选（附答案）
在高中数学的学习过程中，压轴题往往是对学生综合能力的一种考验。它不仅考察基础知识的掌握程度，还要求学生具备灵活运用所学知识解决复杂问题的能力。对于高一年级的学生来说，接触这类题目不仅能提升解题技巧，还能为后续学习打下坚实的基础。
一、函数与方程
例题1：
已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，求其在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值。
解析：
首先，我们需要对函数求导以确定其极值点：
$$
f'(x) = 3x^2 - 3
$$
令 $ f'(x) = 0 $，解得 $ x = \pm 1 $。接下来，我们计算这些点以及区间端点处的函数值：
- 当 $ x = -2 $ 时，$ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 $
- 当 $ x = -1 $ 时，$ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 $
- 当 $ x = 1 $ 时，$ f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 $
- 当 $ x = 2 $ 时，$ f(2) = (2)^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 $
因此，在区间 $[-2, 2]$ 上，最大值为 $ 3 $，最小值为 $ -1 $。
二、几何与向量
例题2：
已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ 和 $\vec{b} = (3, -1)$，求它们的夹角。
解析：
向量的夹角公式为：
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
$$
其中，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 3 - 2 = 1$，而
$$
|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}
$$
代入公式得：
$$
\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}}
$$
由此可得夹角 $\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{50}}\right)$。
三、概率与统计
例题3：
一个袋子里有红球、蓝球和绿球各若干个，从中随机抽取两个球。若抽到的两个球颜色相同的概率为 $\frac{1}{3}$，则袋子里至少有多少个球？
解析：
设袋子里共有 $ n $ 个球，其中红球、蓝球和绿球的数量分别为 $ r $、$ b $、$ g $，满足 $ r + b + g = n $。抽到两个球颜色相同的概率为：
$$
P = \frac{\binom{r}{2} + \binom{b}{2} + \binom{g}{2}}{\binom{n}{2}}
$$
已知 $ P = \frac{1}{3} $，即：
$$
\frac{\binom{r}{2} + \binom{b}{2} + \binom{g}{2}}{\binom{n}{2}} = \frac{1}{3}
$$
通过计算可得，当 $ n = 6 $ 时，满足条件。因此，袋子里至少有 $ 6 $ 个球。
以上便是几道典型的高一数学压轴题及其详细解答。希望同学们能够通过练习巩固知识点，并逐步提高解题能力。如果还有其他疑问，欢迎随时交流！
