在数学领域中，欧拉函数（Euler's totient function）是一个非常重要的概念。它通常用符号 φ(n) 表示，定义为小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数量。换句话说，φ(n) 给出了与 n 互质的所有正整数的个数。

为了更好地理解欧拉函数，我们可以通过计算 1 到 10 的每个数的欧拉函数值来观察其特性。以下是具体的计算过程：

计算步骤：

1. φ(1): 因为 1 没有比它小的正整数，所以 φ(1) = 1。

2. φ(2): 小于或等于 2 的正整数是 {1, 2}，其中只有 1 和 2 是互质的，因此 φ(2) = 1。

3. φ(3): 小于或等于 3 的正整数是 {1, 2, 3}，其中 1 和 2 与 3 互质，因此 φ(3) = 2。

4. φ(4): 小于或等于 4 的正整数是 {1, 2, 3, 4}，其中 1 和 3 与 4 互质，因此 φ(4) = 2。

5. φ(5): 小于或等于 5 的正整数是 {1, 2, 3, 4, 5}，其中 1, 2, 3, 4 与 5 互质，因此 φ(5) = 4。

6. φ(6): 小于或等于 6 的正整数是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}，其中 1 和 5 与 6 互质，因此 φ(6) = 2。

7. φ(7): 小于或等于 7 的正整数是 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，其中 1, 2, 3, 4, 5, 6 与 7 互质，因此 φ(7) = 6。

8. φ(8): 小于或等于 8 的正整数是 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，其中 1, 3, 5, 7 与 8 互质，因此 φ(8) = 4。

9. φ(9): 小于或等于 9 的正整数是 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，其中 1, 2, 4, 5, 7, 8 与 9 互质，因此 φ(9) = 6。

10. φ(10): 小于或等于 10 的正整数是 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，其中 1, 3, 7, 9 与 10 互质，因此 φ(10) = 4。

结果总结：

| n | φ(n) |

|-----|------|

| 1 | 1|

| 2 | 1|

| 3 | 2|

| 4 | 2|

| 5 | 4|

| 6 | 2|

| 7 | 6|

| 8 | 4|

| 9 | 6|

| 10| 4|

通过以上计算可以看出，欧拉函数的值随着 n 的增大而变化，并且与 n 的质因数分解密切相关。例如，对于一个质数 p，φ(p) = p - 1；而对于一个合数 n，φ(n) 可以通过公式 φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × ... × (1 - 1/pk) 来计算，其中 p₁, p₂, ..., pk 是 n 的所有不同质因数。

欧拉函数在数论中有广泛的应用，尤其是在密码学和模运算中。了解这些基础计算有助于深入研究更复杂的数学问题。