【等比数列（-完整版PPT课件）】一、课程导入
在日常生活中，我们经常会遇到一些数列，它们的排列方式有一定的规律。比如：1, 2, 4, 8, 16……这样的数列，每一项与前一项之间存在一定的倍数关系。这种数列就是我们今天要学习的重点——等比数列。
二、什么是等比数列？
等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项开始，每一项与它前面一项的比值都相等的数列。这个固定的比值称为公比，通常用字母 q 表示。
例如：
- 数列：3, 6, 12, 24, 48
- 公比 q = 6 ÷ 3 = 2
- 每一项都是前一项乘以 2 得到的。
三、等比数列的一般形式
设等比数列的首项为 a₁，公比为 q，则该数列可以表示为：
$$
a_1, a_1 \cdot q, a_1 \cdot q^2, a_1 \cdot q^3, \ldots
$$
其中：
- $ a_1 $ 是第一项
- $ q $ 是公比
- 第 n 项为：$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $
四、等比数列的性质
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中，n 为自然数。
2. 连续三项的关系：
若三个数 $ a, b, c $ 构成等比数列，则有：
$$
b^2 = a \cdot c
$$
3. 公比的正负影响：
- 当 $ q > 1 $，数列递增；
- 当 $ 0 < q < 1 $，数列递减；
- 当 $ q = 1 $，数列为常数列；
- 当 $ q < 0 $，数列呈现正负交替的趋势。
五、等比数列的求和公式
对于一个有限项的等比数列，其前 n 项和为：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)
$$
如果 $ |q| < 1 $，当 n 趋于无穷时，数列趋于一个极限值，即：
$$
S = \frac{a_1}{1 - q}
$$
六、实际应用举例
1. 银行利息计算
利息按复利计算时，本金和利息的增长就是一个典型的等比数列。
2. 人口增长模型
在一定条件下，人口数量的增长可以用等比数列来近似描述。
3. 病毒传播问题
病毒在人群中传播时，每一轮感染人数可能是上一轮的固定倍数，也符合等比数列的特点。
七、课堂练习
1. 已知等比数列的首项为 5，公比为 3，求第 6 项。
2. 求等比数列 2, 6, 18, 54 的前 5 项和。
3. 若三个数构成等比数列，且中间的数是 4，求这三个数。
八、总结
通过本节课的学习，我们了解了等比数列的基本概念、通项公式、求和方法以及其在现实中的应用。掌握这些内容不仅有助于数学知识的积累，也能帮助我们在生活中更好地理解和分析各种现象。
九、课后拓展
建议同学们查阅相关资料，了解等比数列与等差数列的区别，并尝试用等比数列的知识解决一些生活中的实际问题。
结束语：数学的世界丰富多彩，等比数列只是其中的一部分。希望同学们能够保持对数学的兴趣，不断探索，发现更多有趣的规律！
