【点到平面距离怎么求】在三维几何中，点到平面的距离是一个常见的问题，尤其在工程、物理和计算机图形学等领域有着广泛的应用。理解并掌握这一计算方法，有助于提高空间思维能力和解决实际问题的能力。

下面是对“点到平面距离怎么求”的总结性说明，并以表格形式展示关键内容。

一、点到平面距离的定义

点到平面的距离是指从该点向平面作垂线，垂足与点之间的线段长度。这个距离是唯一的，且总是非负的。

二、点到平面距离的公式

设平面上任意一点为 $ P_0(x_0, y_0, z_0) $，平面的法向量为 $ \vec{n} = (a, b, c) $，则平面的一般方程为：

$$

ax + by + cz + d = 0

$$

若点 $ P(x_1, y_1, z_1) $ 到该平面的距离为 $ D $，则其计算公式为：

$$

D = \frac{a x_1 + b y_1 + c z_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

$$

三、步骤解析

1. 确定平面方程：写出平面的一般式 $ ax + by + cz + d = 0 $。

2. 获取点坐标：明确点 $ P(x_1, y_1, z_1) $ 的坐标。

3. 代入公式计算：将点坐标和系数代入上述公式，计算出距离。

4. 结果验证：检查计算过程是否正确，确保符号和数值无误。

四、示例说明

假设有一个平面：$ 2x - 3y + 6z - 5 = 0 $，点 $ P(1, 2, 3) $，求点到平面的距离。

- 平面系数：$ a=2, b=-3, c=6, d=-5 $

- 点坐标：$ x_1=1, y_1=2, z_1=3 $

代入公式：

$$

D = \frac{2 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 + 6 \cdot 3 - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 5}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{9}{\sqrt{49}} = \frac{9}{7}

$$

所以，点到平面的距离为 $ \frac{9}{7} $。

五、总结对比表

通过以上内容，可以清晰地了解点到平面距离的计算方法和应用方式。掌握这一知识点，不仅有助于数学学习，也能在实际问题中提供有效帮助。

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