【黄金分割法的基本方法】黄金分割法是一种用于单变量函数最优化的搜索方法，广泛应用于数学、工程和经济学等领域。其核心思想是通过不断缩小搜索区间，逐步逼近最优解，具有计算简单、收敛速度快等优点。
一、基本原理
黄金分割法基于黄金分割比例（约为0.618），将搜索区间划分为两部分，通过比较两个内点的函数值，逐步缩小可能包含极值的区间。该方法适用于单峰函数，即在某一区间内只存在一个极值点。
二、算法步骤
1. 确定初始区间：设目标函数为 $ f(x) $，选择初始区间 $[a, b]$，使得 $ f(x) $ 在此区间内为单峰函数。
2. 计算两个内点：根据黄金分割比例，计算两个对称点 $ x_1 $ 和 $ x_2 $：
$$
x_1 = a + (1 - r)(b - a), \quad x_2 = a + r(b - a)
$$
其中，$ r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618 $。
3. 比较函数值：计算 $ f(x_1) $ 和 $ f(x_2) $ 的值。
4. 缩小区间：根据函数值大小，保留包含极值的子区间：
- 若 $ f(x_1) < f(x_2) $，则保留区间 $[a, x_2]$
- 若 $ f(x_1) > f(x_2) $，则保留区间 $[x_1, b]$
5. 迭代直至收敛：重复步骤2至4，直到区间长度小于给定精度。
三、特点与优势
| 特点 | 描述 |
| 简单易实现 | 无需求导，仅需计算函数值 |
| 收敛速度快 | 每次迭代都按固定比例缩小区间 |
| 适用于单峰函数 | 对多峰函数不适用 |
| 避免了梯度信息 | 适合不可导或难以求导的函数 |
四、应用领域
- 数学优化问题
- 工程设计中的参数调优
- 经济模型中的成本最小化分析
- 金融投资组合优化
五、示例说明（简化版）
假设我们要求函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $ 在区间 $[0, 5]$ 内的最小值。
| 迭代次数 | 区间 [a, b] | x1 | x2 | f(x1) | f(x2) | 新区间 |
| 1 | [0, 5] | 1.85 | 3.15 | 1.97 | 2.95 | [0, 3.15] |
| 2 | [0, 3.15] | 1.24 | 2.15 | 1.78 | 1.98 | [1.24, 3.15] |
| 3 | [1.24, 3.15] | 2.03 | 2.76 | 1.93 | 2.37 | [1.24, 2.76] |
经过多次迭代后，最终可以得到接近最优解的区间。
六、总结
黄金分割法是一种高效、实用的数值优化方法，尤其适合处理单峰函数的极值问题。其核心在于利用黄金分割比例不断缩小搜索范围，避免了复杂的数学推导，适用于多种实际应用场景。在使用过程中需要注意初始区间的合理选取，并确保函数在该区间内为单峰函数。
以上就是【黄金分割法的基本方法】相关内容，希望对您有所帮助。
