等差数列是数学中的一个基础概念，广泛应用于各种实际问题中。它是一种特殊的数列，其特点是任意两项之间的差值相等。这种特性使得等差数列在代数、几何等领域有着重要的应用价值。下面通过几个典型例题来加深对等差数列的理解。

例题一

已知等差数列的首项为5，公差为3，求第8项是多少？

解：

根据等差数列的通项公式 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) ，其中 \(a_1\) 是首项，\(d\) 是公差，\(n\) 是项数。

将已知条件代入公式：

\(a_8 = 5 + (8-1) \times 3\)

计算得：

\(a_8 = 5 + 7 \times 3 = 5 + 21 = 26\)

所以，第8项为26。

例题二

如果一个等差数列的第4项是10，第7项是19，求该数列的首项和公差。

解：

设首项为 \(a_1\)，公差为 \(d\)。

根据通项公式，第4项和第7项可以表示为：

\(a_4 = a_1 + 3d = 10\)

\(a_7 = a_1 + 6d = 19\)

联立方程组：

\[

\begin{cases}

a_1 + 3d = 10 \\

a_1 + 6d = 19

\end{cases}

\]

从第一个方程中解出 \(a_1 = 10 - 3d\)，代入第二个方程：

\(10 - 3d + 6d = 19\)

化简得到：

\(3d = 9\)

因此：

\(d = 3\)

将 \(d = 3\) 代入 \(a_1 = 10 - 3d\) 中：

\(a_1 = 10 - 3 \times 3 = 10 - 9 = 1\)

所以，首项 \(a_1 = 1\)，公差 \(d = 3\)。

总结

通过以上两个例题可以看出，掌握等差数列的基本概念及其通项公式是非常重要的。在解决实际问题时，灵活运用这些基础知识能够帮助我们快速找到解决问题的方法。希望同学们能够在实践中不断巩固这些知识点，并尝试解决更多类似的题目。