作者：刘向前
在初中数学教学中，统计知识是学生必须掌握的重要内容之一。尤其是在中考备考阶段，针对“众数、中位数、平均数与方差”等统计量的综合运用能力，成为考查学生数据分析与处理能力的关键环节。本文整理了2016年各地中考一模试卷中关于这些统计概念的典型题目，并结合教学实际进行解析，旨在帮助教师更好地指导学生复习，提升其在统计部分的应试能力。
一、基本概念回顾
在开始分析具体题目之前，我们先对相关统计量的基本定义和计算方法进行简要回顾：
- 众数（Mode）：一组数据中出现次数最多的数值。
- 中位数（Median）：将一组数据从小到大排列后，位于中间位置的数。若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均值。
- 平均数（Mean）：所有数据之和除以数据的个数。
- 方差（Variance）：衡量一组数据与其平均数之间偏离程度的指标，计算公式为：
$$
s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2
$$
二、典型例题解析
例题1：
某校九年级学生参加体育测试的成绩如下（单位：分）：
85, 90, 78, 85, 92, 88, 85, 93, 87, 90
求这组数据的众数、中位数、平均数和方差。
解：
- 众数：85（出现3次）
- 中位数：将数据排序为：78, 85, 85, 85, 87, 88, 90, 90, 92, 93
中间两个数为87和88，因此中位数为：$\frac{87 + 88}{2} = 87.5$
- 平均数：$\frac{78 + 85 + 85 + 85 + 87 + 88 + 90 + 90 + 92 + 93}{10} = \frac{873}{10} = 87.3$
- 方差：
先计算每个数据与平均数的差的平方：
$(78-87.3)^2 = 86.49$
$(85-87.3)^2 = 5.29$
$(85-87.3)^2 = 5.29$
$(85-87.3)^2 = 5.29$
$(87-87.3)^2 = 0.09$
$(88-87.3)^2 = 0.49$
$(90-87.3)^2 = 7.29$
$(90-87.3)^2 = 7.29$
$(92-87.3)^2 = 22.09$
$(93-87.3)^2 = 32.49$
总和为：86.49 + 5.29×3 + 0.09 + 0.49 + 7.29×2 + 22.09 + 32.49 = 169.3
方差为：$\frac{169.3}{10} = 16.93$
例题2：
某市对10所中学进行数学成绩抽样调查，结果如下（单位：分）：
75, 82, 78, 90, 85, 80, 83, 88, 79, 84
请分别计算该样本的众数、中位数、平均数与方差。
解：
- 众数：无（所有数都只出现一次）
- 中位数：排序后为：75, 78, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 88, 90
中间两个数为82和83，中位数为：$\frac{82 + 83}{2} = 82.5$
- 平均数：$\frac{75+78+79+80+82+83+84+85+88+90}{10} = \frac{824}{10} = 82.4$
- 方差：
各项与平均数的差平方和为：
$(75-82.4)^2 = 54.76$
$(78-82.4)^2 = 19.36$
$(79-82.4)^2 = 11.56$
$(80-82.4)^2 = 5.76$
$(82-82.4)^2 = 0.16$
$(83-82.4)^2 = 0.36$
$(84-82.4)^2 = 2.56$
$(85-82.4)^2 = 6.76$
$(88-82.4)^2 = 31.36$
$(90-82.4)^2 = 57.76$
总和为：189.92
方差为：$\frac{189.92}{10} = 18.992$
三、教学建议
1. 注重基础概念理解：教师应引导学生准确理解众数、中位数、平均数和方差的定义及应用场景，避免混淆。
2. 强化计算训练：统计问题往往涉及较多计算，应加强学生的计算能力，尤其是方差的计算。
3. 结合实际情境：通过生活中的实例讲解统计概念，增强学生的兴趣和理解力。
4. 注重数据整理：在计算中位数时，必须先对数据进行排序，这是关键步骤，不可忽视。
四、结语
2016年中考一模中，统计部分依然是考查学生数据分析能力的重要内容。通过对“众数、中位数、平均数与方差”的系统梳理和练习，可以帮助学生掌握统计思想，提升数学素养，为中考打下坚实的基础。希望本汇编能为一线教师提供参考，助力学生在考试中取得优异成绩。
